Álgebra Linear e Geometria Analítica

Equipa docente:    
Outro departamento - Responsável
 
Cursos:    
Licenciatura em Engenharia Geológica - 1º Ano
 
Objectivos:    

Pretende-se que o aluno adquira conhecimentos básicos de Álgebra Linear e Geometria Analítica (vide Programa da disciplina) e que o processo de aprendizagem favoreça o desenvolvimento do raciocínio lógico e do espírito crítico do aluno.
 
Programa:    

CAPÍTULO 0 - PRELIMINARES

Notações envolvendo conjuntos. O conjunto dos números complexos: algumas definições e resultados. Propriedades da adição e da multiplicação em |R e em |C. Propriedades de operações envolvendo conjuntos arbitrários. A noção de grupo e de grupo comutativo.

CAPÍTULO 1 - MATRIZES

Definição de matriz. Igualdade de matrizes. Linhas e colunas de uma matriz. Alguns tipos particulares de matrizes: matrizes linha, matrizes coluna e matrizes nulas. Matrizes quadradas e alguns casos particulares: matrizes triangulares superiores/inferiores, matrizes diagonais, matrizes escalares e matriz identidade de ordem n. Algumas operações com matrizes: definição de soma de matrizes e de produto de um escalar por uma matriz. Exemplos. Propriedades das operações anteriores. Multiplicação de matrizes: definição, exemplos e propriedades. Transposta de uma matriz: definição, exemplos e propriedades. Matrizes simétricas e matrizes hemi-simétricas. Potência de expoente n de uma matriz, sendo n um inteiro não negativo: definição e propriedades. Matrizes em forma de escada e em forma de escada reduzida: definição e exemplos. Transformações elementares nas linhas de uma matriz (do tipo I, II ou III). Apresentação de um processo prático de, dada uma matriz A, obter a partir de A, através de um número finito de transformações elementares em linhas, uma matriz em forma de escada ou em forma de escada reduzida. Matrizes elementares (do tipo I, II ou III): definição e exemplos. O efeito sobre uma matriz A quando multiplicamos A, à esquerda, por uma matriz elementar. As matrizes elementares como exemplos de matrizes invertíveis. Três caracterizações das matrizes invertíveis. Apresentação de um processo para determinação da inversa de uma matriz invertível.

CAPÍTULO 2 - SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

Algumas definições básicas: solução de um sistema, sistemas impossíveis e sistemas possíveis determinados/indeterminados. Sistemas equivalentes. Representação matricial de um sistema de equações lineares. Resolução e discussão de sistemas. O caso particular dos sistemas homogéneos. Uma nova caracterização das matrizes invertíveis.

CAPÍTULO 3 - DETERMINANTES

Definição de determinante de uma matriz, por recorrência na ordem da matriz. O exemplo do determinante das matrizes de ordem 2 e das matrizes de ordem 3. Complementos algébricos. Demonstração de algumas propriedades envolvendo determinantes.Teorema de Laplace. Determinante de uma matriz triangular superior/inferior. Estudo do efeito das transformações elementares sobre o determinante de uma matriz. Estudo de outras propriedades do determinante. Uma caracterização das matrizes invertíveis através do determinante. Determinante do produto de duas matrizes de ordem n. Matriz dos complementos algébricos e matriz adjunta de uma matriz de quadrada. Cálculo da inversa de uma matriz invertível a partir da sua adjunta Regra de Cramer.

CAPÍTULO 4 - ESPAÇOS VECTORIAIS

Operação binária definida sobre um conjunto não vazio: definição e exemplos. Operações binárias comutativas ou associativas. Elemento neutro para uma operação binária. Simétrico de um elemento, para uma operação binária com elementro neutro. Unicidade, quando existem, do elemento neutro para uma operação binária e do simétrico para uma operação binária associativa. O conceito de espaço vectorial: Definição e exemplos. Algumas propriedades dos espaços vectoriais. Definição de subespaço de um espaço vectorial. Exemplos e contra-exemplos. Subespaços vectoriais construídos a partir de outros subespaços: os casos da intersecção e da soma de subespaços. Exemplo de subespaços cuja união não é um subespaço e exemplos de subespaços cuja união é um subespaço. Sistemas de vectores. O conceito de combinação linear de um sistema de vectores. Exemplos. Subespaço gerado por um sistema de vectores: definição e exemplos. Alguns resultados importantes envolvendo os conceitos de combinação linear e de subespaço gerado por um sistema de vectores: condição necessária e suficiente para que um sistema de vectores gere um determinado subespaço. Construção de um sistema de geradores da soma de dois subespaços a partir de um sistema de geradores de cada um dos subespaços parcelas. Condição necessária e suficiente para que dois sistemas de vectores gerem o mesmo subespaço. O conceito de espaço vectorial finitamente gerado. Exemplos e contra-exemplos. Demonstração do resultado segundo o qual o subespaço gerado por um sistema de vectores não se altera quando suprimimos do sistema um vector que é combinação linear dos restantes. Os conceitos de dependência e independência lineares de um sistema de vectores. Exemplos. Demonstração de alguns resultados importantes envolvendo os conceitos de dependência e independência lineares de um sistema de vectores. Definição de base de um espaço vectorial. Exemplos de bases. Uma caracterização das bases. Demonstração do resultado segundo o qual todo o espaço vectorial finitamente gerado admite uma base. O conceito de dimensão de um espaço vectorial. O Teorema do Completamento. O Teorema das Dimensões. Os conceitos de espaço-linha e espaço-coluna de uma matriz. Demonstração do resultado segundo o qual o espaço-linha (respectivamente, espaço-coluna) de uma matriz não se altera quando efectuamos na matriz um número finito de transformações elementares em linhas (respectivamente, colunas). Igualdade entre a dimensão do espaço-linha (respectivamente, espaço-coluna) e a característica da matriz. Utilização das matrizes para determinação de uma base e determinação da dimensão do subespaço vectorial gerado por um sistema de vectores.

CAPÍTULO 5 - APLICAÇÕES LINEARES

Revisão de alguns conceitos sobre aplicações: aplicações sobrejectivas, injectivas e bijectivas. O conceito de aplicação linear: exemplos e contra-exemplos. Algumas propriedades das aplicações lineares. Núcleo de uma aplicação linear: definição e exemplos. O núcleo como subespaço do espaço de partida. Uma caracterização das aplicações lineares injectivas a partir do seu núcleo. Sistema de geradores para a imagem de um subespaço e o caso particular das aplicações lineares injectivas. Caracterização das aplicações lineares injectivas/sobrejectivas/bijectivas a partir das imagens dos elementos de uma base do espaço de partida. Revisão dos resultados necessários à demonstração do Teorema da Dimensão. Algumas consequências do Teorema da Dimensão. Teorema da Extensão Linear. Matriz de uma aplicação linear, em relação a bases dadas para o espaço de partida e de chegada: definição e exemplos. Utilização da matriz de uma aplicação linear para a determinação da imagem de qualquer vector do espaço de partida. Composição de aplicações. Relação entre a matriz da composta de duas aplicações lineares e o produto das matrizes dessas aplicações lineares. Inversa de uma aplicação bijectiva. Isomorfismos. Definição e resultados envolvendo matrizes de mudança de base.

CAPÍTULO 6 - VALORES E VECTORES PRÓPRIOS

Valores e vectores próprios de um endomorfismo e de uma matriz. Polinómio característico de uma matriz e multiplicidade algébrica de um valor próprio. A igualdade do polinómio característico de matrizes semelhantes e o conceito de polinómio característico de um endomorfismo. Subespaço próprio associado a um valor próprio. Multiplicidade geométrica de um valor próprio. Matrizes e endomorfismos diagonalizáveis. Duas condições necessárias e suficientes para um endomorfismo/matriz ser diagonalizável. Determinação da matriz "diagonalizante".

CAPÍTULO 7 - PRODUTO INTERNO, PRODUTO EXTERNO E PRODUTO MISTO DE VECTORES

Definição de norma ou comprimento de um vector e definição de ângulo formado por dois vectores. Produto interno de dois vectores de R3: definição e propriedades. Sequências ortogonais de vectores. Demonstração do resultado que afirma que toda a sequência ortogonal de vectores não nulos de R3 é linearmente independente. Bases ortogonais e bases ortonormadas. Produto interno em bases ortonormadas. Aplicação do produto interno ao cálculo do ângulo definido por dois vectores. Os conceitos de base directa e de base inversa de R3. Produto externo e produto misto de vectores de R3: definição, propriedades e o caso particular do seu cálculo em relação a bases ortonormadas directas. Interpretação geométrica da norma do produto externo de dois vectores e do módulo do produto misto.

CAPÍTULO 8 - GEOMETRIA ANALÍTICA

Representações cartesianas da recta: equação vectorial, equações paramétricas, equações normais e equações reduzidas.. Representações cartesianas do plano: equação vectorial, equações paramétricas e equação geral. Posições relativas entre duas rectas, entre dois planos e entre uma recta e um plano. Exemplos. Problemas métricos e não métricos: distâncias e ângulos.
 
Requisitos:    

Conhecimentos de Matemática correspondentes ao ensino pré-universitário português (área de ciências).
 
Métodos de Ensino:    

Nas aulas teóricas são leccionados os conceitos e os resultados fundamentais que,  na sua maioria , são demonstrados.

Nas aulas práticas os alunos têm a possibilidade de resolver exercícios e consolidar a matéria teórica leccionada.

No horário de atendimento docente cada aluno pode, individualmente, esclarecer as suas dúvidas com qualquer um dos docentes da disciplina.
 
Métodos de Avaliação:    

1. REQUISITOS

Os alunos que não compareçam a, pelo menos, dois terços das aulas teórico-práticas leccionadas, estarão reprovados por faltas .

Só poderão efectuar qualquer uma das provas (testes ou exames) os alunos que:

a) tenham assistido a, pelo menos, dois terços das aulas teórico-práticas entretanto leccionadas;

b) tenham entregue, na Secretaria do Departamento de Matemática e até uma semana antes da data da prova, um caderno de prova (sem preencher o cabeçalho);

c) no acto da prova sejam portadores do Bilhete de Identidade e do talão de inscrição que receberam na Secretaria do Departamento de Matemática aquando da entrega do caderno.

2. TESTES

Realizam-se 3 testes durante o semestre.

Podem apresentar-se ao segundo teste os alunos que tenham obtido classificação não inferior a 7 no primeiro teste.

Podem apresentar-se ao terceiro teste os alunos que tenham obtido classificação não inferior a 7 em cada um dos testes anteriores.

Um aluno só poderá ficar aprovado na disciplina através dos testes se a classificação de todos for superior ou igual a 7 e a média aritmética das três classificações for superior ou igual a 9,5. É anulada a classificação dos testes a todos os alunos que se apresentem a exame. Neste caso a classificação final será dada por essa média arredondada às unidades, excepto se essa média for superior ou igual a 16,5, caso em que o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 16 ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.

3. EXAME

Há apenas uma época de exame: a Época de Recurso.

Podem apresentar-se a exame, todos os alunos inscritos na disciplina, excepto os alunos que estejam reprovados por faltas. Se a classificação for inferior, ou igual, a 9,4 o aluno reprova. Se a classificação for superior, ou igual, a 9,5 e inferior, ou igual, a 16,4, o aluno fica aprovado com essa classificação, arredondada às unidades. Se a classificação for superior, ou igual, a 16,5 o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 16 ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.

4. MELHORIA DE NOTA

Todo o aluno que pretenda apresentar-se a melhoria de nota deve inscrever-se, para esse efeito, na Repartição Académica. A classificação do exame de melhoria é obtida de acordo com o indicado em 3. Se este resultado for superior ao já obtido anteriormente na disciplina, será tomado como nota final. Caso contrário, não se verifica melhoria de nota.
 
Bibliografia:    

TEXTO PRINCIPAL:

ISABEL CABRAL, CECÍLIA PERDIGÃO, CARLOS SAIAGO Álgebra Linear e Geometria Analítica, 2006/2007.

http://ferrari.dmat.fct.unl.pt/~cls/ALGA/TextoPrincipal.pdf

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR:

J. V. DE CARVALHO Apontamentos da disciplina de Álgebra Linear e Geometria Analítica, Departamento de Matemática, Universidade Nova de Lisboa, Ano Lectivo 2000/2001.

E. GIRALDES, V. H. FERNANDES, M. P. M. SMITH Álgebra Linear e Geometria Analítica, McGraw-Hill de Portugal, (1995).

A. MONTEIRO Álgebra Linear e Geometria Analítica, McGraw-Hill de Portugal, (2001).

T. S. BLYTH, E. F. ROBERTSON Basic Linear Algebra, Springer-Verlag, (1998).
H. ANTON, C. RORRES Elementary Linear Algebra - Applications version, 8th Edition, John Wiley & Sons, Inc. (2000).
 
Carga horária:    
5h por semana